什么是虚数？

admin · 发表于 2014-5-19 22:13:08

来源：果壳网
什么是虚数？虚数的意义在哪里？
中学学数学的时候，老师只是说“虚数就是-1的平方根”。再多问也白扯了。
可是，什么数的平方等于-1？虚数有什么意义？很难懂，虚数的概念真的很虚。
对于数学家来说，可能无所谓。因为不管虚数有什么意义，总是要学习、掌握和使用的。
但是如果能解释清楚，虚数也就没有那么奇怪和难懂了。数学也就看上去更亲切了。
有一个网站叫做BetterExplained，它用最简单和容易理解的方式给大家解释一些非常抽象和不好理解的概念。
这个网站有一篇文章叫做《虚数的图解》，将虚数解释得很简单。读后让人恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！
让我们来看一下：

一、什么是虚数？
首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此，我们可以得到下面的关系式：
　(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)
如果把+1消去，这个式子就变为：
(逆时针旋转90度)^2 = (-1)
将"逆时针旋转90度"记为 i ：
i^2 = (-1)
这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。
所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。
二、复数的定义
既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。
只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。
数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。
为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。
三、虚数的作用：加法
虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？

根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
这就是虚数加法的物理意义。
四、虚数的作用：乘法
如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

比如，一条船的航向是 3 + 4i 。
如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？

45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：
 ( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。
五、虚数乘法的数学证明
为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？
下面就是它的数学证明，实际上很简单。

任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：
　a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展开后面的乘式，得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
根据三角函数公式，上面的式子就等于
cos(α+β) + isin(α+β)
所以，
( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

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科学无神论 /2